Statistica T

Si dice distribuzione T con $n-1$ gradi di libertà, la standardizzazione di $\hat{\mu }=\bar{X}$ stimata con $\widehat{\mathrm{SE}}(\hat{\mu })=\frac{S}{\sqrt{n}}$: $$T=\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S}$$ i cui gradi di libertà provengono dalle informazioni usate dalla stima della varianza $S^2$ e che, al loro aumento, portano la distribuzione a convergere a $\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$.

Intervalli per la media

L'intervallo di confidenza per la media $\mu$ di una popolazione normale con la statistica T è: $$\bar{X}\pm t_{\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}$$ dove $t_{\alpha /2}$ è il quantile della distribuzione T con $n-1$ gradi di libertà ricavabile da qt(1 - 𝛼/2, df=n-1).

Nel caso della differenza di medie, il metodo per trovare l'intervallo di confidenza dipende dalle varianze:

• ${\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2={\sigma }^2$, allora:

  $$(\bar{X}-\bar{Y})\pm t_{\alpha /2}{S}_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}$$ dove $t_{\alpha /2}$ deriva dalla distribuzione T con $n+m-2$ gradi di libertà, quindi qt(1 - 𝛼/2, df=n+m-2).

  La stima di ${\sigma }^2$ si ottiene con la varianza campionaria pooled $S_p^2$, cioè combinata, di $X$ e $Y$: $${\hat{\sigma }}^2=S_p^2=\frac{1}{n+m-2}\left(\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2+\sum _{i=1}^m(Y_i-\bar{Y}{)}^2\right)$$

• ${\sigma }_X^2\ne {\sigma }_Y^2$, allora la statistica T

  $$T=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-({\mu }_X-{\mu }_Y)}{\sqrt{\frac{S_X^2}{n}+\frac{S_Y^2}{m}}}$$ non ha più distribuzione T, ma la si può approssimare con i gradi di libertà di Satterthwaite: $$\nu =\frac{{\left(\frac{S_X^2}{n}+\frac{S_Y^2}{m}\right)}^2}{\frac{S_X^4}{n^2(n-1)}+\frac{S_Y^4}{m^2(m-1)}}$$ con cui si ottiene l'intervallo di confidenza: $$(\bar{X}-\bar{Y})\pm t_{\alpha /2}\sqrt{\frac{S_X^2}{n}+\frac{S_Y^2}{m}}$$ dove $t_{\alpha /2}$ deriva dalla distribuzione T con $\nu$ gradi di libertà, quindi qt(1 - 𝛼/2, df=ν).