Valutare il modello

Per valutare il modello lineare, è necessario ridefinirlo aggiungendo gli errori normali ${ϵ}_i\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }^2)$: $$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$$ che vengono poi stimati dagli $e_i$ dei minimi quadrati. In questo modo ${\beta }_1$ è non distorto e normale.

Intervalli di confidenza

Dato che anche ${\hat{\beta }}_1$ è normale, si possono trovare gli intervalli di confidenza con la statistica T: $${\hat{\beta }}_1\pm t_{\alpha /2}\widehat{\mathrm{SE}}({\hat{\beta }}_1)$$ che avrà $n-2$ gradi di libertà.

Verifica delle ipotesi

Il sistema d'ipotesi con $H_0:{\beta }_1={\beta }_1^0$ può essere valutato con il test T da $n-2$ gradi di libertà: $$T=\frac{{\hat{\beta }}_1-{\beta }_1^0}{\widehat{\mathrm{SE}}({\hat{\beta }}_1)}$$

In particolare, si può dire che $X$ prevede $Y$ linearmente, se $H_0:{\beta }_1=0$ vs. $H_A:{\beta }_1\ne 0$ è significativo.

Analisi dei residui

Anche se $R^2\approx 1$, non è detto che i residui stimati $e_i$ rispettino le assunzioni applicate agli ${ϵ}_i$, ovvero:

• Normalità, nel caso i quantili seguano un modello lineare su un Q-Q plot
• Varianza costante, nel caso gli $e_i$ rimangano ugualmente concentrati nel grafico a dispersione sulle $X$

Modello log-log

Se $X$ e $Y$ non sono linearmente correlati o i residui non seguono le assunzioni, il modello usato è inadatto. Per correggerlo si può tentare di trasformare le variabili su un modello log-log: $$\log Y={\gamma }_0+{\gamma }_1\log x+ϵ$$

Previsioni

Mediante il modello di regressione è possibile predire $G(x)$, per un $x_{\ast }$: $${\hat{y}}_{\ast }={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_{\ast }$$ che avrà però una concreta incertezza, descritta dalla varianza: $$\mathrm{Var}({\hat{y}}_{\ast })={\sigma }^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{(x_{\ast }-\bar{x}{)}^2}{(n-1)s_x^2}\right)$$ con cui si trova l'intervallo di previsione, con distribuzione T da $n-2$ gradi di libertà: $${\hat{y}}_{\ast }\pm t_{\alpha /2}\sqrt{\widehat{\mathrm{Var}}({\hat{y}}_{\ast })}$$