Variabili casuali

Una variabile casuale (o aleatoria) è una funzione $X:\Omega \to \mathbb{R}$, che associa gli eventi ad un valore finito. Questo semplifica gli eventi complicati di interesse, ricavandoci una proprietà $X$ su cui operare.

La probabilità che $X$ assuma un valore di interesse riportato nell'insieme $A$, sarà: $$P_X(A)=P(X\in A)=P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in A\})$$

Discrete

Una variabile casuale è detta discreta se l'immagine $X(\Omega )\subseteq \mathbb{N}$.

La funzione di probabilit๠di un valore discreto $x$ assunto da $X$ sarà $P_X(x)=P(X=x)$, da cui: $$P(X\in A)=\sum _{x\in A}{P}_X(x)$$ cioè la somma di tutte le probabilità dei valori di interesse contenuti in $A$.

Per esempio, dato $S=\text{"somma di due dadi"}$, allora: $$P_S(s)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{36}& \text{se }s=2,12\\ \frac{2}{36}& \text{se }s=3,11\\ \frac{3}{36}& \text{se }s=4,10\\ \frac{4}{36}& \text{se }s=5,9\\ \frac{5}{36}& \text{se }s=6,8\\ \frac{6}{36}& \text{se }s=7\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$$

Continue

Una variabile casuale è detta continua invece, se $X(\Omega )\subseteq \mathbb{R}$ ed è non numerabile.

La probabilità di assumere un qualsiasi valore nell'insieme continuo $A$, sarà: $$P(X\in A)={\int }_{A}f(x)dx$$ dove la funzione $f(x)$ è detta densità di probabilità², infatti un $y=f(x_1)$ delinea quanto più è plausibile che una certa variabile casuale $X$ cada vicino ad $x_1$ rispetto ad un altro $x_2$.

Ogni funzione di densità $f(x)$ rispetta le proprietà per cui:

• $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
• ${\int }_{\mathbb{R}}f(x)dx=1$

Per esempio, se la curva della densità è $f(x)=2e^{-2x}$ allora $P(X\in (1,2))={\int }_1^{2}f(x)dx\approx 0.117$.

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione³ $F:\mathbb{R}\to [0,1]$ di una variabile casuale $X$ è definita come: $$F(x)=P(X\le x)$$ che accumula le probabilità con il crescere di $x$.

Se $X$ è discreta, $F(x)=\sum _{i:x_i\le x}P(X=x_i)$ e si ricava che: $$P(X=x)=F(x)-F(x^{-})=F(x)-\underset{t\to x^{-}}{\lim }F(t)$$ cioè che la probabilità di $x$ è la differenza dell'accumulo su $x$ e il precedente.

Se è continua invece, $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$, perciò $f(x)=\frac{d}{dx}F(x)$.

Proprietà

Dalla definizione si ricavano le proprietà delle funzioni di ripartizione, per cui $F(x)$ è:

• Crescente
• Continua a destra, ovvero $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }F(x)=F(x_0),\forall x_0\in \mathbb{R}$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$

Valore atteso

Il valore atteso di $X$ è la media pesata dalle probabilità dei valori assunti da $X$, per cui nel caso discreto è: $$E(X)=\sum _i{x}_{i}P(X=x_i)$$ mentre nel caso continuo è pesata dalla funzione di densità $f(x)$: $$E(X)={\int }_{\mathbb{R}}xf(x)dx$$

Quando una variabile casuale $Y$ è esprimibile in termini di $X$ tale che $Y=g(X)$, allora si può porre $E(Y)={\sum }_{i}g(x_i)P_X(x_i)$ se discreta, altrimenti $E(Y)={\int }_{\mathbb{R}}g(x)f(x)dx$ se continua.

Per esempio, il valore atteso di $S$ è $E(S)=2\frac{1}{36}+12\frac{1}{36}+3\frac{2}{36}+11\frac{2}{36}+4\frac{3}{36}+...=7$.

Proprietà

Il valore atteso rispetta le proprietà per cui:

• $E(a)=a$
• $E(aX+b)=aE(X)+b$
• $E(X-E(X))=0$, dato che visualmente $X-E(X)$ sposta la media di $X$ su $0$

Varianza

La varianza di una variabile casuale $X$ esprime la media delle distanze dei valori dal valore ideale $E(X)$: $$\mathrm{Var}(X)=E((X-E(X){)}^2)=E(X^2)-E(X{)}^2$$ che nel caso discreto è: $$\mathrm{Var}(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2{P}_X(x_i)=\sum _i{x}_i^2{P}_X(x_i)-E(X{)}^2$$ mentre nel caso continuo: $$\mathrm{Var}(X)={\int }_{\mathbb{R}}(x-E(X){)}^{2}f(x)dx={\int }_{\mathbb{R}}{x}^{2}f(x)dx-E(X{)}^2$$

Per esempio, la varianza di $S$ è $\mathrm{Var}(S)=2^2\frac{1}{36}+12^2\frac{1}{36}+3^2\frac{2}{36}+11^2\frac{2}{36}+4^2\frac{3}{36}+...-7^2\approx 5.8$.

Proprietà

Tra le proprietà della varianza, ci sono:

• $\mathrm{Var}(a)=0$
• $\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$

Moda

Le mode della variabile casuale $X$ sono tutti i valori di massimo relativo della funzione o densità di probabilità.

Per esempio, l'unica moda di $S$ è su $7$ perchè è dove $P_S(s)$ assume il valore massimo.

Un altro esempio considera l'urna $\{1,1,2,2,3,3,4\}$ e $X=\text{"numero estratto"}$, da cui si ricavano le mode in $x=1,2,3$ perchè $P_X(x)=\frac{2}{7}$ che sono valori maggiori del rimanente $P_X(4)=\frac{1}{7}$.

Mediana

Si definisce mediana il minimo valore $\mathrm{med}(X)=m$ per cui: $$F(m)=P(X\le m)=\frac{1}{2}\wedge P(X\ge m)=\frac{1}{2}$$

Nel caso discreto basta che $P(X\le m)\ge \frac{1}{2}$ dato che $X=m$ potrebbe essere impossibile.

Per esempio, nel lancio di un dado $P(X=1,2,3)=P(X=4,5,6)=\frac{1}{2}$ per cui la mediana dovrebbe essere un valore in $(3,4)$, ma $X\notin (3,4)$ di conseguenza si sceglie come mediana $m=3$.

Nel caso continuo invece, si rispetta la condizione per cui ${\int }_{-\infty }^{m}f(x)dx={\int }_m^{\infty }f(x)dx=\frac{1}{2}$.

Quantili

Un quantile di livello $\alpha$ è il minimo valore $q_{\alpha }$ per cui, nel caso continuo: $$F(q_{\alpha })=P(X\le q_{\alpha })=\alpha$$ che nel caso discreto sarà sufficiente la condizione $F(q_{\alpha })\ge \alpha$.

Servono a generalizzare divisioni del grafico come la mediana, che infatti è un quantile di livello $\alpha =\frac{1}{2}$.