Distribuzioni discrete

Uniforme

$X \sim U ({x_{1}, ..., x_{n}})$

Probabilità: $P_{X} (x) = \frac{1}{n}$
Media: $E (X) = \frac{x _{1} + x _{n}}{2}$
Varianza: $Var (X) = \frac{n ^{2} - 1}{12}$

Per esempio, se $X$ descrive il lancio di un dado ogni elemento avrà probabilità $P_{X} (x) = \frac{1}{6}$ .

Ipergeometrica

$X \sim Ig (N, m, n)$

Probabilità: $P_{X} (k) = \frac{( k m ) ( n - k N - m )}{( n N )}$
Media: $E (X) = n \frac{m}{N}$
Varianza: $Var (X) = n \frac{m}{N} \frac{N - m}{N} \frac{N - n}{N - 1}$
Funzione,
- per $P (X = k)$ : dhyper(x=k, m=m, n=N-m, k=n)
- per $P (X \leq k)$ : phyper(q=k, m=m, n=N-m, k=n)

Modella l'estrazione di $n$ palline senza reinserimento da un'urna di $N$ palline dei quali $m$ sono successi.

Per esempio, con $N = 12$ programmi di cui $m = 5$ vanno aggiornati, la probabilità che su $n = 4$ vanno aggiornati almeno $2$ è $P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 1) = 1 - P_{X} (0) - P_{X} (1)$ .

Di Bernoulli

$X \sim Ber (p)$

Probabilità: $P_{X} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - p p 0 se x = 0 se x = 1 altrimenti = p^{x} (1 - p)^{1 - x} 1_{{0, 1}} (x)$
Media: $E (X) = p$
Varianza: $Var (X) = p (1 - p)$
Funzione,
- per $P (X = k)$ : dbinom(x=k, size=1, prob=p)
- per $P (X \leq k)$ : pbinom(q=k, size=1, prob=p)

Binomiale

$X \sim Bin (n, p)$

Probabilità: $P_{X} (k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
Media: $E (X) = n p$
Varianza: $Var (X) = n p (1 - p)$
Funzione,
- per $P (X = k)$ : dbinom(x=k, size=n, prob=p)
- per $P (X \leq k)$ : pbinom(q=k, size=n, prob=p)

Modella l'estrazione con reinserimento di $n$ prove ognuna con probabilità $p$ di successo.

Se gli elementi $N \to \infty$ , anche senza reinserimento, si usa la binomiale perchè ci si aspetta che $p$ non cambi. Quando $n = 1$ invece, rappresenta la distribuzione di Bernoulli, per cui $Ber (p) = Bin (1, p)$ .

Per esempio, in una ricerca su $N \to \infty$ siti, ogni sito ha $p = 0.2$ di contenere la parola chiave, per cui dei primi $n = 10$ siti la probabilità che $k \leq 5$ la contengano è $P (X \leq 5) = P_{X} (0) + ... + P_{X} (5) \approx 0.9936$ .

Di Poisson

$X \sim Po (λ)$

Probabilità: $P_{X} (k) = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}$
Media: $E (X) = λ$
Varianza: $Var (X) = λ$
Funzione,
- per $P (X = k)$ : dpois(x=k, lambda=𝜆)
- per $P (X \leq k)$ : ppois(q=k, lambda=𝜆)
- per $P (X \geq k)$ : 1-ppois(q=k-1, lambda=𝜆)

Modella $X$ sul conteggio di un certo evento favorevole secondo una media $λ$ .

Per esempio, ogni mezz'ora arrivano in media $λ = 10$ messaggi, la probabilità che nella prossima mezz'ora ne arrivino al più $k = 3$ è $P (X \leq 3) = \frac{1 0 ^{0}}{0 !} e^{- 10} + \frac{1 0 ^{1}}{1 !} e^{- 10} + ... + \frac{1 0 ^{3}}{3 !} e^{- 10} \approx 0.0103$ .

La distribuzione di Poisson è approssimabile con la distribuzione binomiale, infatti: $n \to \infty p \to 0 n \cdot p \to λ lim (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}$ spesso utilizzata quando $n \geq 100$ e $p \leq 0.05$ , per cui si sceglie $λ = n p$ .

Per esempio, se $p = 0.03$ dei chip arrivano da una fabbrica, la probabilità che su $n = 100$ ce ne siano al massimo $k = 3$ da loro è $P (X \leq 3) = k = 0 \sum 3 (k 100) 0.0 3^{k} 0.9 7^{100 - k} \approx k = 0 \sum 3 \frac{3 ^{k}}{k !} e^{- 3}$ dove $λ = 100 \cdot 0.03 = 3$ .

Geometrica

$X \sim Geo (p)$

Probabilità: $P_{X} (x) = p (1 - p)^{x - 1}$
Media: $E (X) = \frac{1}{p}$
Varianza: $Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}$
Funzione,
- per $P (X = x)$ : dgeom(x=x-1, prob=p)
- per $P (X \leq x)$ : pgeom(q=x-1, prob=p)

Modella $X$ sul numero di ripetizioni necessarie per ottenere il primo successo con probabilità $p$ .

Questa è l'unica distribuzione discreta con mancanza di memoria, per cui: $P (X > n + m ∣ X > m) = \frac{P ( X > n + m )}{P ( X > m )} = P (X > n)$ dato che $P (X > k) = (1 - p)^{k}$ .

Nell'esempio dei siti web, per trovare la parola servono $x = 15$ siti con probabilità $P_{X} (15) \approx 0.0088$ , e ne servono più di $10$ avendone controllati $4$ con probabilità $P (X > 10∣ X > 4) = P (X > 6) \approx 0.261$ .

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