Teoremi fondamentali su intervalli

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua e derivabile in $]a,c[$, allora:

1. Teorema di Lagrange:

   Sia $f$ derivabile in $]a,b[$, allora $\exists c\in ]a,b[$: $$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ e cioè che esiste un punto su cui la tangente è parallela alla secante passante per gli estremi.

2. Teorema di Rolle:

   Sia $f$ derivabile in $]a,b[$ tale che $f(a)=f(b)$, allora $\exists c\in ]a,b[$: $$f^{\prime }(c)=0$$

   Se per $\forall x\in ]a,b[$,

   • $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$, allora $f(x)=g(x)+d$ con $d\in \mathbb{R}$
   • $f^{\prime }(x)=0$, allora $f(x)=d$ e quindi $f$ è costante
   • $f^{\prime }(x)>0$, allora $f$ è strettamente crescente in $]a,b[$
   • $f^{\prime }(x)<0$, allora $f$ è strettamente decrescente in $]a,b[$

3. Teorema di Cauchy:

   Siano $f$ e $g$ derivabili in $]a,b[$ con $g^{\prime }(x)\ne 0,\forall x\in ]a,b[$, allora $\exists c\in ]a,b[$: $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$$ che è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

4. Proprietà di Darboux

   Se $x,y\in ]a,b[$ con $f^{\prime }(x)\ne f^{\prime }(y)$, allora: $$\forall m\in [f^{\prime }(x),f^{\prime }(y)],\exists c\in [x,y]:f^{\prime }(c)=m$$ e cioè che tutti i coefficienti angolari tra $f^{\prime }(x)$ e $f^{\prime }(y)$, corrispondono al coefficiente angolare di almeno un punto tra $x$ e $y$.

5. Teorema di de l'Hopital

   Siano $f$ e $g$ derivabili in un intorno $I_{x_0}\setminus \{x_0\}$, allora se: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\in \{0,\infty \}\wedge \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l$$ si ha che: $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=l$$

   Per esempio: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{6x}\underset{[\frac{0}{0}]}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)}{6}=\frac{1}{6}$$