Matrice a scala

Una matrice si dice a gradini quando ogni riga inizia con almeno uno zero in più rispetto a quella precedente.

Ciò significa che la matrice a gradini con meno zeri sarà la matrice triangolare superiore: $$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& d& e\\ 0& 0& f\end{array}\right]$$

Il primo elemento diverso da zero su ogni riga è detto pivot, per esempio la matrice: $$\left[\begin{array}{cccc}3& 9& 0& 1\\ 0& 0& 5& 4\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$$ ha come pivot 3, 5 e 2.

Forma ridotta

Una matrice si dice a gradini in forma ridotta quando il pivot di ogni riga è $1$ e la sua colonna ha tutti $0$.

Per passare da una matrice in scala in forma ridotta basta:

1. Dividere ogni riga per il valore del pivot, portando i pivot a $1$
2. Portare tutti i termini sulle colonne dei pivot a $0$, sottraendo le righe con un multiplo della riga del pivot

Per esempio: $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{cccc}2& 5& 6& 7\\ 0& 3& 1& 1\\ 0& 0& 2& 0\end{array}\right]\stackrel{\text{dividi le righe per i pivot}}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}1& \frac{5}{2}& 3& \frac{7}{2}\\ 0& 1& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\stackrel{R_2-\frac{1}{3}{R}_3\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& \frac{5}{2}& 3& \frac{7}{2}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{3}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\\ \stackrel{R_1-3R_3\to R_1}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}1& \frac{5}{2}& 0& \frac{7}{2}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{3}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\stackrel{R_1-\frac{5}{2}{R}_2\to R_1}{\to }\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& \frac{8}{3}\\ 0& 1& 0& \frac{1}{3}\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$$