Numeri complessi

I numeri complessi appartengono all'insieme $\mathbb{C}$ e sono in forma $a+bi$, dove $i=\sqrt{-1}$, o in specifico: $$i^2=-1$$

Operazioni

• Somma: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• Prodotto: $(a+bi)\cdot (c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=ac-bd+(ad+cb)i$
• Coniugato: $\overline{z}=a-bi$
• Modulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
• Inverso: $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$
• Divisione: $\frac{w}{z}=w\cdot z^{-1}=w\cdot \frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$

Esempi

1. $$z=7+i,w=4-i$$

   $$z\cdot w=(7+i)\cdot (4-i)=28-7i+4i-i^2=28-3i+1=29-3i$$

2. $$z=3+4i,w=2-4i$$

   $$z+w=(3+4i)+(2-4i)=5+0i=5$$

3. $$z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2{i}^2=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2$$

4. $$z=2+i$$

   $$z^{-1}=\frac{\overline{2+i}}{2^2+1^2}=\frac{2-i}{5}$$

Coordinate polari

È possibile rappresentare un certo numero complesso $z=a+bi$ in un piano chiamato piano complesso, dove nelle ascisse verrà messa la parte reale, mentre nelle ordinate la parte immaginaria.

Dalla rappresentazione si possono ricavare le proprietà:

1. Il modulo $|z|$, è linea obliqua che si forma dall'origine al numero $z$
2. Conoscendo $\alpha$ e un raggio $r=|z|$, è possibile ricavare il numero complesso
3. $a=r\cos (\alpha )$ e $b=r\sin (\alpha )$, dove $r$ è il raggio

Per cui, se ne ricava la forma delle coordinate polari: $$z=a+bi=r\cos (\alpha )+r\sin (\alpha )i=|z|(\cos (\alpha )+\sin (\alpha )i)$$

Esempi

1. $$z=2-3i$$

   $$r=|z|=\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{13}$$ $$z=|z|\cdot \frac{z}{|z|}=\sqrt{13}\cdot \frac{2-3i}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}-\frac{3}{\sqrt{13}}i\right)$$ $$a=|z|\cdot \cos (\alpha )=\sqrt{13}\cdot \frac{2}{\sqrt{13}}=2$$ $$b=|z|\cdot \sin (\alpha )=\sqrt{13}\cdot \frac{-3}{\sqrt{13}}=-3$$

Operazioni

• Moltiplicazione:

  $$z=|z|(\cos (\alpha )+\sin (\alpha )i)$$ $$w=|w|(\cos (\beta )+\sin (\beta )i)$$ $$z\cdot w=|z\cdot w|(\cos (\alpha +\beta )+\sin (\alpha +\beta )i)$$

Forma esponenziale

Attraverso la formula di eulero, $$e^{i\alpha }=\cos (\alpha )+\sin (\alpha )i$$ è possibile accorciare la forma polare con $z\ne 0$ in: $$z=|z|e^{i\alpha }$$

Questo semplificherà anche l'operazione di moltiplicazione che, con $z=r{e}^{i\alpha }$ e $w=s{e}^{i\beta }$, diventerà $z\cdot w=(r\cdot s)e^{i(\alpha +\beta )}$.