Spazio vettoriale

L'insieme $V$ si dice spazio vettoriale quando contiene vettori ed è definito su un campo $K$ (cioè un insieme di scalari) che rispetta:

• $(K,+)$ è abeliano (o gruppo commutativo) con elemento neutro $0$
• $(K^{\ast },\cdot )$ è abeliano con elemento neutro $1$

dove la somma è $+:V\times V\to V$, mentre il prodotto $\cdot :K\times V\to V$.

Ogni spazio vettoriale deve quindi soddisfare le proprietà:

• Della somma:

  1. Commutativa: $\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$
  2. Associativa: $\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}$
  3. Elemento neutro: $\vec{v}+\vec{0}=\vec{v}$
  4. Elemento opposto: $\vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0}$

• Del prodotto:

  1. Distributiva a destra: $a(\vec{v}+\vec{w})=a\vec{v}+a\vec{w}$
  2. Distributiva a sinistra: $(a+b)\vec{v}=a\vec{v}+b\vec{v}$
  3. Associativa: $a(b\vec{v})=(ab)\vec{v}$
  4. Elemento neutro: $1\vec{v}=\vec{v}$

Sottospazio

Un sottospazio $W$ dello spazio vettoriale $V$, entrambi definiti sul campo $K$, si definisce tale se: $$W\subset V:W\ne \varnothing$$ e le due operazioni $+$ e $\cdot$ su $K$ rispettano la proprietà di chiusura, infatti:

• $\vec{v},\vec{w}\in W\Rightarrow (\vec{v}+\vec{w})\in W$
• $a\in K\wedge \vec{v}\in W\Rightarrow a\vec{v}\in W$

Di conseguenza, $$\forall \vec{v}\in W,a\in K:a=0\Rightarrow a\vec{v}=\vec{0}\Rightarrow \vec{0}\in W$$ quindi, perchè si possa definire spazio vettoriale e rispetti la proprietà di chiusura, $\vec{0}\in W,\forall W\subset V$.

Per cui, ogni iperpiano $W$ in $R^n$ che passa per l'origine $\vec{0}$ è considerabile sottospazio vettoriale, perchè: $$\forall \vec{v}\in W,0\vec{v}=\vec{0}\in W$$