Sistemi lineari

Un sistema lineare è un insieme di equazioni in forma di iperpiani (piani di $n$ dimensioni) di cui si vuole trovare l'intersezione, e viene espresso come: $$Ax=b$$ dove $A$ è la matrice dei coefficienti, $x$ il vettore delle incognite e $b$ il vettore dei termini noti, per esempio: $$\{\begin{array}{l}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{array}\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]$$

Accostando $A$ a $b$ otteniamo la matrice completa di sistema: $$A|b=\left[\begin{array}{ccc}a& b& e\\ c& d& f\end{array}\right]$$

Teorema di Rouché-Capelli

Con questo teorema è possibile stabilire se un sistema lineare ammette soluzioni e, nel caso, quantificarle tramite il rango della matrice associata al sistema.

Infatti, dato un sistema lineare $Ax=b$, si ha che:

• Se $\mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}(A|b)$, allora non esistono soluzioni
• Se $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)$, allora ammette soluzioni con $n$ numero di incognite:
  • Se $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)=n$, allora esiste una sola soluzione
  • Se $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)<n$, allora ha infinite soluzioni

Metodo della matrice inversa

Sapendo che $Ax=b$, allora se $A$ è invertibile (cioè $A$ è quadrata e $\det (A)\ne 0$) allora esistono soluzioni: $$x=A^{-1}b$$

Esempio

Partendo dal sistema $$\{\begin{array}{l}4x+2y=5\\ 3x+y=-1\end{array}\Rightarrow A=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 1\end{array}\right]$$ esistono soluzioni perchè $\dim (A)=2\times 2$ e $\det (A)=-2\ne 0$.

La matrice dei cofattori e l'aggiunta di $A$ saranno: $$C=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 4\end{array}\right]\Rightarrow C^T=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 4\end{array}\right]$$ per cui: $$A^{-1}=-\frac{1}{2}{C}^T=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 1\\ \frac{3}{2}& -2\end{array}\right]\Rightarrow x=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& 1\\ \frac{3}{2}& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{7}{2}\\ \frac{19}{2}\end{array}\right]$$

Metodo di eliminazione di Gauss

Tramite i passaggi del metodo di Gauss è possibile semplificare il risolvimento di sistemi lineari:

• Scambiare le righe: $$\left[\begin{array}{ccc}a& b& e\\ c& d& f\end{array}\right]\stackrel{R_1\leftrightarrow R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}c& d& f\\ a& b& e\end{array}\right]$$

• Moltiplicare per uno scalare: $$\left[\begin{array}{ccc}a& b& e\\ c& d& f\end{array}\right]\stackrel{3R_2\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}a& b& e\\ 3c& 3d& 3f\end{array}\right]$$

• Sommare una riga al multiplo di un'altra: $$\left[\begin{array}{ccc}a& b& e\\ c& d& f\end{array}\right]\stackrel{R_1-2R_2\to R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}a-2c& b-2d& e-2f\\ c& d& f\end{array}\right]$$

Esempio

Partendo con il sistema lineare $$\{\begin{array}{l}3x+2y=5\\ x+4y=3\end{array}\Rightarrow A|b=\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 5\\ 1& 4& 3\end{array}\right]$$ si può trasformare in matrice dei coefficienti a cui si applicheranno i passaggi:

1. Scambiare le due righe: $$\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 5\\ 1& 4& 3\end{array}\right]\stackrel{R_1\leftrightarrow R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 3& 2& 5\end{array}\right]$$
2. Moltiplicare la prima riga per $3$; $$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 3& 2& 5\end{array}\right]\stackrel{3R_1\to R_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}3& 12& 9\\ 3& 2& 5\end{array}\right]$$
3. Sottrarre la prima alla seconda: $$\left[\begin{array}{ccc}3& 12& 9\\ 3& 2& 5\end{array}\right]\stackrel{R_2-R_1\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}3& 12& 9\\ 0& -10& -4\end{array}\right]$$
4. Semplificare la prima per $3$ e la seconda per $-2$: $$\left[\begin{array}{ccc}3& 12& 9\\ 0& -10& -4\end{array}\right]\stackrel{\frac{1}{3}{R}_1\to R_1,-\frac{1}{2}{R}_2\to R_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 0& 5& 2\end{array}\right]$$
5. Ricostruire il sistema: $$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 3\\ 0& 5& 2\end{array}\right]\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+4y=3\\ 5y=2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{7}{5}\\ y=\frac{2}{5}\end{array}$$

Metodo di Cramer

L'utilizzo di questo metodo su sistemi lineari quadrati (di tante equazioni quante incognite) permette di trovare soluzioni quando $\det (A)\ne 0$.

Lo scopo del metodo è trovare tante matrici quante sono le incognite, per esempio $D_x$, $D_y$ e $D_z$ nel caso di: $$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=3\\ -x+3y+2z=1\\ -2x+y=-2\end{array}\Rightarrow A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 3& 2\\ -2& 1& 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ -2\end{array}\right]$$ esistono soluzioni perchè $\det (A)=5\ne 0$, allora rimpiazzando $b$ al posto della colonna di $x$, $y$ e $z$: $$\begin{array}{rlrl}{D}_x& =\det \left(\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 3\\ 1& 3& 2\\ -2& 1& 0\end{array}\right]\right)=7& & \Rightarrow x=\frac{D_x}{\det (A)}=\frac{7}{5}\\ D_y& =\det \left(\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ -1& 1& 2\\ -2& -2& 0\end{array}\right]\right)=4& & \Rightarrow y=\frac{D_y}{\det (A)}=\frac{4}{5}\\ D_z& =\det \left(\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 3& 1\\ -2& 1& -2\end{array}\right]\right)=0& & \Rightarrow z=\frac{D_z}{\det (A)}=0\end{array}$$