Funzioni continue

Una funzione $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ si dice continua su un punto $x_0\in A$, se: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$ che vale se $x_0$ è di accumulazione per $A$ (cioè che ogni intorno su $x_0$ ha punti appartenenti ad $A$), ma anche se è un punto isolato di $A$ (perchè non ha punti nell'intorno di $x_0$).

Di conseguenza, la funzione $f$ si dice continua se è continua su ogni punto del suo dominio.

Determinare la continuità

Per determinare se la funzione è continua sul punto $x_0$ basterà tenderci da sinistra e da destra: $$f\text{ eˋ continua}\iff \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)\in \mathbb{R}$$

Per esempio, con $\mathrm{sgn}(x)$ non é continua su $x=0$ perchè $$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\mathrm{sgn}(x)\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\mathrm{sgn}(x)$$ mentre $f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{se }x>0\\ -1& \text{se }x<0\end{array}$ è continua perchè $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ e quindi $0\notin \mathrm{Dom}(f)$.