Limiti

Il limite di una funzione $f(x)$ su un punto di accumulazione $x_0$, esprime verso quale valore tende la funzione all'avvicinarsi a $x_0$.

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$

Definizione epsilon-delta

Il limite ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=l$ con $l\in \mathbb{R}$, se e solo se $$\forall ϵ>0,\exists \delta >0:x\in B(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in B(l,ϵ),\forall x\in \mathrm{Dom}(f)\setminus \{x_0\}$$ e quindi, per ogni raggio $ϵ$, si sta cercando un raggio $\delta$ per cui i tutti i valori immagine dell'intorno circolare $B(x_0,\delta )$ (cioè i valori delle $y$) appartengano a $B(l,ϵ)$.

Di conseguenza la proprietà vale e il limite esiste se, qualunque sia $ϵ$ (sulle ordinate), sarà sempre possibile trovare un suo $\delta$ corrispondente (sulle ascisse).

Si consideri $d(x_1,x_2)=|x_2-x_1|$ cioè la distanza tra due punti $x_1$ e $x_2$, allora la definizione potrà essere espressa come $$\forall ϵ>0,\exists \delta >0:d(x_0,x)<\delta \Rightarrow d(l,f(x))<ϵ$$

Un esempio lo è questa animazione per cui si può notare che quando $\delta \to 0$, anche $ϵ$ fa tendere i valori di $f(x)\to l$.

Intorno sinistro e destro

Quando su $x_0$ il limite non è definito, è possibile tendere verso il punto da sinistra o da destra per trovare il punto specifico verso cui tende la funzione.

Per esempio, nel caso della funzione $$f(x)=\frac{x+1}{\mathrm{sgn}(x)}\Rightarrow \nexists \underset{x\to 0}{\lim }f(x)$$ perchè la funzione tende verso $y=-1$ da sinistra, mentre verso $y=1$ da destra, e di conseguenza $$\forall ϵ\in (0,1),\nexists \delta >0:x\in B(0,\delta )\Rightarrow f(x)\in B(0,ϵ)$$ cioè che quando $0<ϵ<1$, non c'è alcun intervallo di cui le $x$ danno che $f(x)\in B(0,ϵ)$, infatti quando $x=0.04$, $f(x)=1.04$ che supera l'intervallo di $ϵ$, e quindi non vale per ogni $ϵ>0$.

Per poter determinarlo, sarà quindi necessario tendere da destra, o da sinistra come: $$\forall ϵ>0,\exists \delta >0:x\in (x_0-\delta ,x_0)\Rightarrow f(x)\in B(l,ϵ)$$

Caso infinito

Nel caso in cui $x\to \pm \infty$ o $f(x)\to \pm \infty$, invece di prendere un intorno circolare si prende un intorno sinistro o destro di $\pm \infty$.

Per esempio, con ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=l$: $$\forall ϵ>0,\exists M>0:x>M\Rightarrow f(x)\in B(l,ϵ)$$ e ne si può vedere l'effetto con questa animazione.

Funzioni periodiche

Il limite che tende a $\pm \infty$ di una funzione periodica non esiste, perchè $l$ non converge su un unico valore.

Per esempio, $\nexists {\lim }_{x\to +\infty }\sin (x)$, ma $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\cos (x)+x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{\cos (x)}{x}+1\right)\underset{\left[\frac{[-1,1]}{+\infty }\right]\to 0}{=}\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty$$