Piano tangente

Il piano tangente su un punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ corrisponde allo spazio di tutti i vettori tangenti su quel punto, e quindi a tutte le direzioni che il punto può seguire.

Per trovare il piano in forma $z=ax+by+c$ passante per il punto, si pone che: $$\{\begin{array}{l}f(x_0,y_0)=a{x}_0+b{y}_0+c\\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=a\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=b\end{array}$$ da cui si ricava: $$T_{f,(x_0,y_0)}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0)$$

Funzione differenziabile

Una funzione $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ si dice differenziabile su un punto $(x_0,y_0)\in \mathring{A}$ se può essere approssimata (a meno di un resto) dal piano tangente su un intorno abbastanza piccolo del punto.

Per cui, se $(x_0,y_0)+(h,k)$ è nell'intorno e soddisfa la condizione, allora: $$f(x_0+h,y_0+k)=T_{f,(x_0,y_0)}(x_0+h,y_0+k)+o(\Vert (h,k)\Vert )$$ dove $o(\Vert (h,k)\Vert )$ è il resto di tipo infinitesimo superiore di $\Vert (h,k)\Vert$.

Se $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$, allora $f$ è anche derivabile e continua su $(x_0,y_0)$.
Inoltre, se $f\in C^1(U_r((x_0,y_0)))$, allora $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$.

Di conseguenza, se $\mathrm{Dom}(f)$ è aperto e $f\in C^1(\mathrm{Dom}(f))$ allora $f$ è differenziabile in $\mathrm{Dom}(f)$.

Per esempio, se $f(x,y)=y{e}^x+x^2+2xy+y^3$ allora è differenziabile se: $$f\in C^1\iff \exists \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\in C^0$$ infatti, $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y{e}^x+2x+2y$ e $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^x+2x+3y^2$ sono continue nel loro dominio.