Lunghezza

Per calcolare la lunghezza di un arco di curva basta approssimare il sostegno con dei segmenti di rette: $$l(p)=\sum _{i=1}^n\Vert r(t_i)-r(t_{i-1})\Vert \le l(\gamma )$$ dove $p$ è la curva poligonale che approssima $\gamma$.

Se al variare della poligonale $p$, ${\sup }_p(l(p))<+\infty$ allora $l(\gamma )={\sup }_p(l(p))$ per cui $\gamma$ è detta rettificabile. In quel caso: $$l(\gamma )={\int }_a^b\Vert r^{\prime }(t)\Vert dt$$

Per esempio, con $r(t)=(\cos (t),\sin (t),t)$ e $t\in [0,2\pi ]$: $$l(\gamma )={\int }_0^{2\pi }\sqrt{(-\sin (t){)}^2+\cos (t{)}^2+1^2}dt=2\sqrt{2}\pi$$