Algebra delle derivate

Le operazioni principali tra due funzioni $f$ e $g$, derivabili in $x_0$, comprendono:

• Derivata della somma

  $$\mathrm{D}(f+g)(x_0)=f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0)$$

• Derivata del prodotto

  $$\mathrm{D}(f\cdot g)(x_0)=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)$$ che sarebbe la regola di Leibniz.

• Derivata del rapporto

  $$\mathrm{D}\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g^2(x_0)}$$ con $g(x_0)\ne 0$.

• Derivata di una combinazione lineare

  $$\mathrm{D}(af+bg)(x_0)=a{f}^{\prime }(x_0)+b{g}^{\prime }(x_0)$$ con $a,b\in \mathbb{R}$.

• Derivata di una funzione composta

  $$\mathrm{D}(f\circ g)(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))\cdot g^{\prime }(x_0)$$ con $f$ derivabile in $g(x_0)$ e $g$ derivabile in $x_0$.

• Derivata di una funzione composta esponenziale

  $$\mathrm{D}(f^g)(x_0)=f(x_0{)}^{g(x_0)}\cdot \left(g^{\prime }(x_0)\ln (f(x_0))+\frac{g(x_0)\cdot f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}\right)$$ con $f$ derivabile in $g(x_0)$ e $g$ derivabile in $x_0$.

• Derivata della funzione inversa

  $$\mathrm{D}(f^{-1})(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y_0))}$$ dove $y_0\in \mathrm{Dom}(f^{-1})=\mathrm{Codom}(f)$ è il punto su cui $f^{-1}$ è derivabile.