Derivate parziali seconde

Le derivate parziali seconde di una funzione $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ si ottengono derivando le prime rispetto alle $n$ variabili, di conseguenza in totale ci saranno $n^2$ derivate parziali seconde.

Per esempio, se $f(x,y)=x^2+\cos (x)\sin (y)+3y$ le derivate parziali sono: $$\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-\sin (x)\sin (y)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\cos (x)\cos (y)+3\end{array}\Rightarrow \begin{array}{rlrl}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)& =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)& & =2-\cos (x)\sin (y)\\ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)& =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)& & =-\sin (x)\cos (y)\\ \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)& =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)& & =-\sin (x)\cos (y)\\ \frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)& =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)& & =-\cos (x)\sin (y)\end{array}$$ da cui si nota che le derivate parziali miste (e.g. $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$) sono uguali (nella maggior parte dei casi).

Matrice Hessiana

Come per il gradiente, le derivate parziali seconde vengono raggruppate nella matrice Hessiana: $$H_f=\left(\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}\end{array}\right)\iff (H_f{)}_{ij}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$$ che descrive la curvatura di $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ in modo analogo alle derivate ordinarie seconde.

Inoltre, se tutte le $(H_f{)}_{ij}\in C^0$ per $i,j=1,...,n$, la matrice $H_f$ è simmetrica sulla diagonale principale.

Per esempio, se $f(x,y)=x^2+y^3+sin(xy)$: $$H_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x,y)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x,y)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x,y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-y^2\sin (xy)& \cos (xy)-xy\sin (xy)\\ \cos (xy)-xy\sin (xy)& 6y-x^2\sin (xy)\end{array}\right)$$ che se valutata in $(\pi ,1)$ diventa: $$H_f(\pi ,1)=\left(\begin{array}{cc}2-\sin (\pi )& \cos (\pi )-\pi \sin (\pi )\\ \cos (\pi )-\pi \sin (\pi )& 2-{\pi }^2\sin (\pi )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 6\end{array}\right)$$

Formula di Taylor

Se in $\mathbb{R}$ la funzione $f\in C^2$ è approssimata dal polinomio di Taylor di ordine $2$ (ponendo $x=x_0+h$) come $$f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x_0)h^2+o(h^2)$$ in ${\mathbb{R}}^n$ la funzione può essere approssimata da: $$f({\vec{x}}_0+\vec{h})=f({\vec{x}}_0)+\nabla f^T({\vec{x}}_0)\vec{h}+\frac{1}{2}{\vec{h}}^T{H}_f({\vec{x}}_0)\vec{h}+o(\Vert \vec{h}{\Vert }^2)$$ anch'essa in ordine $2$ perchè $H_f$ fa da derivata seconda.

Espandendo la formula in ${\mathbb{R}}^2$, assomiglia al polinomio originale: $$\begin{array}{rl}f(x_0+h,y_0+k)=& f(x_0,y_0)+\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)k\right)+\\ & +\frac{1}{2}\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)h^2+2\cdot \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}(x_0,y_0)hk+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x_0,y_0)k^2\right)+o(\Vert (h,k){\Vert }^2)\end{array}$$

Caratterizzare i punti critici

Se la funzione $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}\in C^2$ ha un punto critico in ${\vec{x}}_0$, allora $\nabla f({\vec{x}}_0)=\vec{0}$ e quindi nella formula di Taylor l'unico termine rilevante che rimane per approssimare $f$ è: $${\vec{h}}^T{H}_f({\vec{x}}_0)\vec{h}$$

Per esempio, se $f(x,y)=x^2+\frac{3}{2}(y-1{)}^2+1$ e ${\vec{x}}_0=(0,1)$: $$\begin{gathered} \nabla f(0,1)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 0\\ 3\cdot 1-3\end{array}\right)=\vec{0} \\ \Updownarrow \\ {H}_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\Rightarrow {\vec{h}}^T{H}_f(0,1)\vec{h}=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=2x^2+3y^2 \end{gathered}$$ per cui $f$ verso ${\vec{x}}_0$ tenderà ad un paraboloide ellittico con il vertice sull'origine, da cui ${\vec{x}}_0$ è punto di minimo.

Test dell'Hessiana

Siano ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ gli autovalori associati ad $H_f$, il cui paraboloide ha equazione $z={\vec{x}}^T{H}_f\vec{x}$, allora:

In ${\mathbb{R}}^2$, dato che $\det (H_f)={\lambda }_1{\lambda }_2$: $$\det (H_f)>0\Rightarrow \mathrm{sgn}({\lambda }_{1,2})=\mathrm{sgn}((H_f{)}_{11})=\mathrm{sgn}\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)$$ altrimenti $H_f$ è indefinita se $\det (H_f)<0$, e il test dell'Hessiana non si può usare se $\det (H_f)=0$.

Per esempio, se $f(x,y)=x^2+2y^2-x^{2}y$ si ha che: $$\begin{gathered} \nabla f(x,y)=\vec{0}\iff \left(\begin{array}{c}2x(1-y)\\ 4y-x^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\iff \{\begin{array}{l}x=0\vee y=2\\ x=\pm 2\sqrt{y}\end{array} \\ {H}_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2-2y& -2x\\ -2x& 4\end{array}\right) \end{gathered}$$ allora $P_1=(0,0)$, $P_2=(2,1)$ e $P_3=(-2,1)$ sono punti critici: $$\begin{array}{rl}\det (H_f(P_1))& =\det \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=8>0\\ \det (H_f(P_2))& =\det \left(\begin{array}{cc}0& -4\\ -4& 4\end{array}\right)=-16<0\\ \det (H_f(P_3))& =\det \left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 4& 4\end{array}\right)=-16<0\end{array}$$ per cui $P_1$ è punto di minimo relativo, perchè $(H_f(P_1){)}_{11}=2>0$, mentre $P_2$ e $P_3$ sono punti di sella.