Algebra modulare

Gruppi

L'argomento è stato già trattato parzialmente nella parte di Calcolo 1.

Una monoide $(A,\ast )$ combina un insieme $A$ e un'operazione qualsiasi $\ast :A\times A\to A$ se l'operazione $\ast$ rispetta la proprietà:

• Associativa
• Elemento neutro

Un gruppo, invece, è una monoide che rispetta la proprietà dell'inverso. Si dice abeliano, inoltre, se rispetta anche la proprietà commutativa.

Divisione

Dalla divisione euclidea si ha che: $$\forall a,b\in \mathbb{Z}:b\ne 0,\exists !q,r\in \mathbb{Z}:a=bq+r$$ infatti $a:b=q$ con resto $r$.

Modulo

Il modulo restringe l'insieme su un insieme $A_n$ (e.g. ${\mathbb{N}}_{10}=0,1,...,9$) e si esprime come: $$a\mathrm{mod}n={\mathrm{mod}}_n(a)$$

Le proprietà sono:

• $(a+b)\mathrm{mod}n=(a\mathrm{mod}n+b\mathrm{mod}n)\mathrm{mod}n$
• $(a\cdot b)\mathrm{mod}n=(a\mathrm{mod}n\cdot b\mathrm{mod}n)\mathrm{mod}n$

Congruenze

Sia $R\subseteq {\mathbb{Z}}^2$ una relazione. Se $$aRb\iff a\mathrm{mod}n=b\mathrm{mod}n$$ allora, $R$ si dice congruenza modulo $n$.

In pratica, la relazione esprime l'uguaglianza tra due numeri $a$ e $b$ sotto modulo $n$, per esempio $12{\equiv }_{10}2$ perchè il resto di $12:10$ è $2$.

L'insieme quoziente $\mathbb{Z}/{\equiv }_n$ di questa relazione, è caratterizzato dal fatto che divide $\mathbb{Z}$ in $n$ classi di equivalenza. Per esempio, $\mathbb{Z}/{\equiv }_1=\{\mathbb{Z}\}$.