Probabilità elementare

Nella probabilità, un insieme $\Omega$ è detto spazio campionario se contiene tutti i risultati di un esperimento. L'insieme $A$ è detto evento se $A\subseteq \Omega$, infatti è evento certo se $A=\Omega$ e evento elementare se $|A|=1$.

Vengono chiamati eventi incompatibili invece, se $$A_i\cap A_j=\varnothing ,\forall i,j=1,...,n:i\ne j$$ ovvero se nessuno ha intersezione.

Definizione

La probabilità è definita come una funzione che assegna ad ogni evento un valore in ${\mathbb{R}}^{\ge }$, per cui si ha:

1. Positività: $0\le P(A)\le 1$

2. Normalizzazione: $P(\Omega )=1$

3. Additività: $P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$ se $A_i$ sono incompatibili

Per cui per la legge della probabilità totale, si può spezzettare $A$ in eventi incompatibili attraverso delle partizioni $C_i$ di $\Omega$ semplificando quindi il calcolo della probabilità: $$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A\cap C_i)$$

Proprietà

Come conseguenze alla definizione di probabilità si ottengono:

• Probabilità complementare:

  $$P(\overline{A})=1-P(A)$$ per additività e normalizzazione, perchè $P(\Omega )=P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$, rappresenta la probabilità totale $P(\Omega )$ meno quella del singolo evento $P(A)$ che non ci interessa.

• Probabilità dell'evento impossibile:

  $$P(\varnothing )=0$$ perchè $P(\varnothing )=P(\overline{\Omega })=1-P(\Omega )=0$.

• Probabilità di una partizione $C_1,C_2,...,C_n$:

  $$P\left(\bigcup _{i=1}^n{C}_i\right)=P(\Omega )=1$$

• Probabilità dell'unione:

  $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ che è esteso alternando segno sulle intersezioni degli elementi nei sottoinsiemi dell'insieme delle parti.

• Probabilità degli eventi equiprobabili:

  $$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}\iff P(\{w\})=\frac{1}{|\Omega |},\forall w\in \Omega$$ in cui $|A|$ è il numero di casi favorevoli, mentre $|\Omega |$ è il numero di casi possibili.

Estrazione

In un'urna con $N$ palline ci sono $m$ successi (i.e. palline che ci interessano) e $N-m$ insuccessi.

La probabilità di estrarre $n$ su $N$ palline reinserendole¹, di cui $k$ successi e $n-k$ insuccessi, corrisponderà a: $$P(A_k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{m}{N}\right)}^k{\left(1-\frac{m}{N}\right)}^{n-k}$$ dove $\frac{m}{N}$ sarà la probabilità di $1$ successo e ${\left(\frac{m}{N}\right)}^k{\left(1-\frac{m}{N}\right)}^{n-k}$ di esattamente $k$ successi e $n-k$ insuccessi. Questa probabilità è poi ripetuta $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ volte, ovvero per tutti i modi in cui si possono estrarre $k$ successi da $n$.

Se invece si vuole senza il reinserimento², diventerà: $$P(A_k)=\frac{|A_k|}{|\Omega |}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-m}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}$$ dove $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)$ è il numero di modi di scegliere i successi, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-m}{n-k}\right)$ gli insuccessi e $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)$ i modi di tutti gli $n$ da $N$.