Sommatorie

• $$\sum _{k=0}^n{a}_k=\sum _{0\le k\le n}{a}_k$$

• $$\sum _{k\in \varnothing }{a}_k=\sum _{k=1}^0{a}_k=\sum _{1\le k\le 0}{a}_k=0$$

• 
  $$\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(n-k)=\sum _{k=2}^{n-1}k(k-1)(n-k)$$ perchè dalla somma si possono escludere i casi in cui $a_k=0$:

  • $k=0\Rightarrow a_k=0$
  • $k=1\Rightarrow a_k=0$
  • $k=n\Rightarrow a_k=0$

  e tenere gli altri casi, come:

  • $k=2\Rightarrow a_k\ne 0$
  • $k=n-1\Rightarrow a_k\ne 0$

Proprietà

• Proprietà associativa: $$\sum _{k\in K}(a_k+b_k)=\sum _{k\in K}{a}_k+\sum _{k\in K}{b}_k$$

• Proprietà distributiva: $$\sum _{k\in K}c{a}_k=c\sum _{k\in K}{a}_k,c\in \mathbb{R}$$

Fondere e spezzare le sommatorie

Per fondere una sommatoria: $$\sum _{k=1}^m{a}_k+\sum _{k=m}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n{a}_k+a_m$$ dove $a_m$ viene aggiunto perchè a sinistra dell'uguale viene sommato due volte.

Mentre, per spezzarla basta: $$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^m{a}_k+\sum _{k=m+1}^n{a}_k$$

Somme multiple

Se gli indici di somme multiple sono indici indipendenti, allora: $$\sum _{i=1}^5\left(\sum _{j=0}^4\left(\sum _{k=0}^3\left(2^i+\frac{3i}{k}\right)\right)\right)=\sum _{i=1}^5\sum _{k=0}^3\sum _{j=0}^4\left(2^i+\frac{3i}{k}\right)$$

Somme notevoli

• $$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$
• $$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
• $$\sum _{i=0}^n{a}^i=\frac{a^{n+1}-1}{a-1},a>1$$