Test Z

Quando l'ipotesi nulla è $H_0:\theta ={\theta }_0$, una statistica test che valuta le ipotesi potrà essere la statistica Z: $$Z=\frac{\hat{\theta }-{\theta }_0}{\mathrm{SE}(\hat{\theta })}$$

A seconda dell'ipotesi alternativa $H_A$ si ottengono diverse regioni di rifiuto e accettazione per $H_0$:

Per esempio, dato il campione $X_1,...,X_{100}$ con $\bar{X}\sim \mathrm{N}(5200,\frac{800^2}{100})$ si vuole verificare che l'ipotesi nulla $H_0:E(X)=\mu =5000$ sia valida, contro $H_A:\mu >5000$, con significatività $\alpha =0.05$: $$z=\frac{5200-5000}{\frac{800}{\sqrt{100}}}=2.5$$ che rientra nella regione di rifiuto $\mathcal{R}$, perchè $z_{\alpha }=1.645$ ricavato da qnorm(1-0.05).

Stima di verosimiglianza

La statistica Z si può costruire anche con lo stimatore $\hat{\theta }$ di massima verosimiglianza, infatti: $$Z=\frac{\hat{\theta }-{\theta }_0}{J({\theta }_0{)}^{-1/2}}\approx \frac{\hat{\theta }-{\theta }_0}{J(\hat{\theta }{)}^{-1/2}}$$

Per esempio, data $f(x)=\theta (1-x{)}^{\theta -1}$ e $\sum _{i=1}^{300}\ln (1-x_i)=-291.4$ si vuole valutare l'ipotesi $H_0:\theta =1.2$ contro $H_A:\theta <1.2$. Dalla massima verosimiglianza si trovano $\hat{\theta }=1.03$ e $J({\theta }_0)=\frac{n}{{\theta }_0^2}=\frac{300}{1.2^2}$, quindi: $$z=\frac{1.03-1.2}{\frac{1.2}{\sqrt{300}}}=-2.45$$ che rientra nella regione di rifiuto $\mathcal{R}=(-\infty ,-1.645]$ con significatività $\alpha =0.05$.