Stimatori di variabilità

In questo caso le statistiche permettono di stimare la variabilità della popolazione.

Come esempio, si considera il campione precedente.

Varianza campionaria

La varianza $\mathrm{Var}(X)$ si stima con la varianza campionaria, cioè: $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\frac{1}{n-1}\left(\left(\sum _{i=1}^n{X}_i^2\right)-n{\bar{X}}^2\right)$$ dove $X_i-\bar{X}$ è detto scarto dalla media, ovvero la distanza.

Come stimatore è non distorto, consistente e asintoticamente normale.

Nell'esempio $s^2\approx \frac{20391}{29}\approx 703.2{\text{ sec}}^2$.

Deviazione standard campionaria

La deviazione standard $\sigma =\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ si stima con la deviazione standard campionaria, cioè: $$S=\sqrt{S^2}$$ attraverso la varianza campionaria, e come lei è consistente, asintoticamente normale ma distorta.

Nell'esempio $s\approx \sqrt{703.2}\approx 26.5\text{ sec}$.

Scarto interquartile campionario

Come la media, la varianza è sensibile a poche osservazioni estreme, per cui si usa lo scarto interquartile: $$IQR=Q_3-Q_1=q_{3/4}-q_{1/4}$$ dove $Q_3$ e $Q_1$ sono il primo e il terzo quartile, ovvero quantili di ordine $\frac{1}{4}$ e $\frac{3}{4}$.

La stima si trova con lo scarto interquartile campionario, cioè: $$\widehat{IQR}={\hat{Q}}_3-{\hat{Q}}_1={\hat{q}}_{3/4}-{\hat{q}}_{1/4}$$ e si usa anche per trovare i valori anomali (o outliers), cioè quei valori $X_i$ tali che: $$X_i\notin \left[{\hat{Q}}_1-1.5\widehat{IQR},{\hat{Q}}_3+1.5\widehat{IQR}\right]$$ e vanno rimossi se sono errori o osservazioni di un'altra popolazione.

Nell'esempio $\widehat{IQR}=59-34=25$ e un valore anomalo è $139\notin [34-37.5,59+37.5]=[-3.5,96.5]$.