Concetti

Si dice popolazione l'insieme delle unità di interesse. Osservandole per intero, processo detto censimento, si possono trovare delle caratteristiche numeriche $\theta$ associate, chiamate parametri.

In alternativa si può cercare la stima $\hat{\theta }$ attraverso una statistica, ovvero una funzione applicata ad un sottoinsieme della popolazione detto campione, definita anche stimatore perchè stima il valore di $\theta$.

L'errore fra $\hat{\theta }$ e $\theta$ può dipendere da errori campionari inevitabili, dovuti dalla dimensione del campione, o da errori non campionari evitabili, dovuti dall'uso di un campione o di uno stimatore inappropriato.

Per evitare gli errori non campionari si può effettuare un campionamento casuale semplice, estraendo le unità dalla popolazione in maniera casuale e indipendente, risultando in osservazioni che sono variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.), cioè indipendenti e aventi la stessa distribuzione.

Le statistiche campionarie sono una variabile casuale quando calcolate su un campione casuale e stimano un parametro di popolazione come media, mediana, quantili, varianza, etc.

Distorsione

Uno stimatore, anch'esso indicato da $\hat{\theta }$, si dice non distorto se: $$E(\hat{\theta })=\theta ,\forall \theta$$ altrimenti la sua distorsione si può ricavare con $\mathrm{Bias}(\hat{\theta })=E(\hat{\theta })-\theta$.

Consistenza

Uno stimatore su un campione grande $n$ si dice consistente se¹: $$\hat{\theta }\stackrel{p}{\to }\theta \iff \underset{n\to \infty }{\lim }\mathrm{Bias}(\hat{\theta })=\underset{n\to \infty }{\lim }\mathrm{Var}(\hat{\theta })=0$$ ovvero se almeno asintoticamente per $n$ la distorsione e la varianza convergono a zero.

Normalità asintotica

Uno stimatore è asintoticamente normale se al crescere di $n$ approssima la distribuzione normale, cioè²: $$\hat{\theta }\stackrel{d}{\to }N(E(\hat{\theta }),\mathrm{Var}(\hat{\theta }))$$

Trasformazioni

• $X\stackrel{p}{\to }\theta \Rightarrow g(X)\stackrel{p}{\to }g(\theta )$ sse $g$ è continua
• $X\stackrel{d}{\to }N(\mu ,{\sigma }^2)\Rightarrow g(X)\stackrel{d}{\to }N(g(\mu ),g^{\prime }(\mu {)}^2{\sigma }^2)$ sse $g^{\prime }(\mu )\ne 0$

Errore standard

Assieme allo stimatore si considera anche un suo indice di qualità, cioè il suo errore standard: $$\mathrm{SE}(\hat{\theta })=SD(\hat{\theta })$$ dove $\mathrm{SD}(\hat{\theta })$ è la deviazione standard di $\hat{\theta }$, così che sia esplicito quanto varia al cambiare del campione.

L'effetto che ha si può notare da:

Precisione e accuratezza

Uno stimatore si dice che ha più precisione quando è meno variabile, e si dice che ha più accuratezza quando è meno distorto. Entrambe le proprietà sono rappresentate dall'errore quadratico medio: $$\mathrm{MSE}(\hat{\theta })=E(\hat{\theta }-\theta {)}^2=\mathrm{Var}(\hat{\theta })+\mathrm{Bias}(\hat{\theta }{)}^2$$

Di conseguenza, se due stimatori sono non distorti si preferisce quello con varianza inferiore, altrimenti se anche uno o entrambi sono distorti si sceglie quello con l'errore quadratico medio minore.