Cambio di variabili

Per funzioni in $R$ , se $x = ϕ (t)$ con $ϕ \in C^{1}$ e invertibile: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{ϕ^{- 1} (a)}^{ϕ^{- 1} (b)} f (ϕ (t)) ϕ^{'} (t) d t$

In $R^{2}$ invece, va trasformato il dominio $D$ con una trasformazione $T \in C^{1}$ invertibile: $T : D^{'} \subset R^{2} (u, v) \to D \subset R^{2} \mapsto (x, y) = (g (u, v), h (u, v))$ la cui matrice Jacobiana sarà la matrice $J_{T}$ delle derivate parziali: $J_{T} (u, v) = (\frac{\partial g}{\partial u} (u, v) \frac{\partial h}{\partial u} (u, v) \frac{\partial g}{\partial v} (u, v) \frac{\partial h}{\partial v} (u, v))$ i cui punti $(u, v)$ per cui $det (J_{T} (u, v)) = 0$ vengono detti punti critici.

Inoltre, se per ogni $(u, v) \in D^{'}$ il $det (J_{T} (u, v)) \neq = 0$ , allora $T$ è detto diffeomorfismo e $T^{- 1} \in C^{1}$ .

Per esempio, se la trasformazione è in coordinate polari: $T : [0, + \infty [\times [0, 2 π [(p, θ) \to R^{2} \mapsto (x, y) = (p cos (θ), p sin (θ)) ⇓ J_{T} (p, θ) = (cos (θ) sin (θ) - p sin (θ) p cos (θ)) \Rightarrow det (J_{T} (p, θ)) = p$ e quindi $(u, v) = (0, θ)$ (i.e. l'origine) è un punto critico.

La sostituzione avviene quindi con: $\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D^{'}} f (g (u, v), h (u, v)) ∣ det (J_{T}) ∣ d u d v$

Per esempio, se $D = {(x, y) \in R^{2} : x^{2} + 4 y^{2} \leq 1 \land x \leq 0 \land y \geq 0}$ , allora l'ellissi nel secondo quadrante può essere rappresentata da: $T : [0, 1] \times [\frac{π}{2}, π] (p, θ) \to D \mapsto (x, y) = (p cos (θ), p \frac{1}{2} sin (θ)) ⇓ \iint_{D} y^{2} + 1 d x d y = \iint_{[0, 1] \times [\frac{π}{2}, π]} ((p \frac{1}{2} sin (θ))^{2} + 1) \frac{1}{2} p d p d θ = = \int_{\frac{π}{2}}^{π} \int_{0}^{1} \frac{1}{8} p^{3} sin^{2} (θ) + \frac{1}{2} p d p d θ = \frac{1}{32} \int_{\frac{π}{2}}^{π} sin^{2} (θ) + 8 d θ = \frac{17 π}{128}$

Computer Science

Cambio di variabili