Derivata direzionale

Si dice derivata direzionale di $f$ rispetto al versore $\vec{v}$ (vettore unità) nel punto ${\vec{x}}_0$ il limite: $$D_{\vec{v}}({\vec{x}}_0)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f({\vec{x}}_0+t\vec{v})-f({\vec{x}}_0)}{t}=\nabla f^T({\vec{x}}_0)\cdot \vec{v}=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}({\vec{x}}_0)\cdot v_i$$ cioè la derivata su ${\vec{x}}_0$ di $f$ rispetto alla sezione verticale definita dalla retta ${\vec{x}}_0+t\vec{v}$.

Infatti, se $\vec{v}=\hat{x}=(1,0)$, cioè la sezione lungo l'asse $x$, e ${\vec{x}}_0=(x,y)$: $$D_{\hat{x}}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\cdot 1+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\cdot 0=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)$$

Per esempio, se $f(x,y)=y^3-\sin (xy)$, $\vec{v}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ e ${\vec{x}}_0=(\pi ,1)$ la sezione corrisponde ai valori di $f$ che assume quando $x$ e $y$ appartengono alla retta ${\vec{x}}_0+t\vec{v}=\left(\pi +\frac{\sqrt{2}}{2}t,1-\frac{\sqrt{2}}{2}t\right)$, per cui: $$\begin{array}{rl}{D}_{\vec{v}}({\vec{x}}_0)& =\nabla f^T(\pi ,1)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)=(-1\cdot \cos (\pi \cdot 1),3\cdot 1^2-\pi \cos (\pi \cdot 1))\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)=\\ & =(1,3+\pi )\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right)=-\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\pi \end{array}$$

Direzione di massima crescita

Il vettore unità $\vec{v}$ descrive la direzione di massima crescita su un punto ${\vec{x}}_0$ quando $D_{\vec{v}}({\vec{x}}_0)=\nabla f^T({\vec{x}}_0)\cdot v$ assume il valore più grande, cioè quando $\cos (\alpha )=1$ (sul prodotto scalare).

Di conseguenza, se il $\vec{v}$ più grande ha $\alpha =0$ con $\nabla f({\vec{x}}_0)$, allora: $$\vec{v}=\frac{\nabla f({\vec{x}}_0)}{\Vert \nabla f({\vec{x}}_0)\Vert }$$ dove $-\vec{v}$ è la direzione di minima crescita.

Per esempio, la direzione di massima crescita su ${\vec{x}}_0=(\pi ,1)$ se $f(x,y)=y^3-\sin (xy)$ è: $$\vec{v}=\frac{\nabla f(\pi ,1)}{\Vert \nabla f(\pi ,1)\Vert }=\frac{1}{\sqrt{1+(3+\pi {)}^2}}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3+\pi \end{array}\right)\Leftarrow \nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}-y\cos (xy)\\ 3y^2-x\cos (xy)\end{array}\right)$$